[Math] Matrice, avancée partie 1

• Transposition 

La transposée A^T (aussi notée A') d'une matrice A est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A :

La transposée d'un vecteur-colonne est un vecteur-ligne :

• Inversion d'une matrice carrée

Une matrice carrée A est dite inversible ou régulière s'il existe une matrice carrée A^-1 (appelée matrice inverse) telle que :

A × A^-1 = A^-1 × A = I

Si A^-1 n'existe pas, la matrice A est dite singulière

• Déterminant d'une matrice carrée

Pour une matrice 2 × 2, on montre que la matrice inverse est donnée par :

Le nombre (ad - bc) est appelé déterminant de la matrice A, noté :

La matrice inverse A^-1 n'existe donc que si det A est différent de zéro.

La matrice A est singulière si det A = 0, régulière dans le cas contraire. Ce résultat se généralise à une matrice de dimension quelconque.

Propriétés des déterminants :

• det(A^T) = det(A)

• det(AB) = det(A) × det(B)

• Le déterminant d'une matrice triangulaire ou diagonale est égal au produit des éléments diagonaux. En particulier, det(I) = 1 (si I est la matrice unité)

• Si A est régulière, det(A^-1) = 1 / det(A)
  puisque det(AA^-1) = det(A) × det(A^-1) = det(I) = 1

• Si A est orthogonale, det(A) = ±1
  puisque det(AA^T) = [det(A)]² = det(I) = 1

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