- Transposition
La transposée AT (aussi notée A') d'une matrice A est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A :
![](https://www.unilim.fr/pages_perso/jean.debord/math/matrices/transmat.gif)
La transposée d'un vecteur-colonne est un vecteur-ligne :
![](https://www.unilim.fr/pages_perso/jean.debord/math/matrices/transvec.gif)
- Inversion d'une matrice carrée
Une matrice carrée A est dite inversible ou régulière s'il existe une matrice carrée A-1 (appelée matrice inverse) telle que :
Si A-1 n'existe pas, la matrice A est dite singulière
- Déterminant d'une matrice carrée
Pour une matrice 2 × 2, on montre que la matrice inverse est donnée par :
![](https://www.unilim.fr/pages_perso/jean.debord/math/matrices/matinv.gif)
Le nombre (ad - bc) est appelé déterminant de la matrice A, noté :
![](https://www.unilim.fr/pages_perso/jean.debord/math/matrices/det.gif)
La matrice inverse A-1 n'existe donc que si det A est différent de zéro.
La matrice A est singulière si det A = 0, régulière dans le cas contraire. Ce résultat se généralise à une matrice de dimension quelconque.
Propriétés des déterminants :
det(AT) = det(A)
det(AB) = det(A) × det(B)
Le déterminant d'une matrice triangulaire ou diagonale est égal au produit des éléments diagonaux. En particulier, det(I) = 1 (si I est la matrice unité)
Si A est régulière, det(A-1) = 1 / det(A)
puisque det(AA-1) = det(A) × det(A-1) = det(I) = 1Si A est orthogonale, det(A) = ±1
puisque det(AAT) = [det(A)]2 = det(I) = 1